Question

如图所示，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A，C分别在x，y轴的正半轴上，已知点B（4，2），将矩形OABC翻折，使得点C的对应点P恰好落在线段OA（包括端点O，A）上，折痕所在直线分别交BC、OA于点D、E；若点P在线段OA上运动时，过点P作OA的垂线交折痕所在直线于点Q．

（1）求证：CQ=QP

（2）设点Q的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（3）如图2，连结OQ，OB，当点P在线段OA上运动时，设三角形OBQ的面积为S，当x取何值时，S取得最小值，并求出最小值；

Answer

（1）CQ=PQ（2） （3）

【解析】

试题（1）由CD=PD,∠CDE=∠PDE得到∠CDQ=∠PDQ，再加上DQ=DQ可得△CDQ≌△PDQ，所以得CQ=PQ；（2）由Q(x,y) ，则CQ=PQ=y，设QP交BC于H,则QH=y-2,CH=x，由勾股定理，得，所以；（3）设直线OB与直线PQ相交于点G(x，y)，则，所以，所以，即当x=1时，S有最小值为；

试题解析：

（1）由已知易得CD=PD,∠CDE=∠PDE

∴ ∠CDQ=∠PDQ

又∵DQ=DQ

∴△CDQ≌△PDQ

得CQ=PQ

（2）∵Q(x,y)

CQ=PQ=y

设QP交BC于H,则QH=y-2,CH=x，由勾股定理，得

（3）设直线OB与直线PQ相交于点G(x，y)，则易得

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