Question

如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点E、F分别在边AB、AC上，将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点D恰好落在边BC上．若△BDE是直角三角形，则CF的长为______．

Answer

或

【解析】

分两种情况：①∠BED=90°，过点F作FM⊥AE，根据折叠性质可知∠AEF=∠DEF=45°，设FC=a，则AF=3-a，在Rt△AMF中用a表示出AE，从而得到BE=5-AE，在Rt△BED中，根据三角函数用a表示BE，则构造出关于a的方程；②∠BDE=90°，证明∠A=∠DFC，根据三角函数找到FC和DF关系即可．

【解析】
①当∠BED=90°时，过点F作FM⊥AE，

根据折叠性质可知∠AEF=∠DEF=45°，

设FC=a，则AF=3-a，在Rt△AMF中，

sinA=，∴MF==ME．

cosA=，∴AM=．

∴AE=AM+MF==DE．

则BE=AB-AE=5-．

在Rt△BED中，tanB=，∴BE=．

∴5-=，解得a=；

②当∠EDB=90°时，

根据折叠性质可知AF=FD，∠A=∠EDF，

∵ED∥AC，∴∠EDF=∠DFC．

∴∠A=∠DFC．

∴cosA=cos∠DFC=，设FC=x，则AF=3-x=DF，

∴，解得x=．

综上所述CF长为或．