Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，∠C=2∠BAD．

（1）求∠BOD的度数；

（2）求证：四边形OBCD是菱形；

（3）若⊙O的半径为r，∠ODA=45°，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．

Answer

（1）120°；（2）证明见解析；（3）（1+）r2．

【解析】

（1）结合圆的内接四边形对角互补，运用方程思想，再运用圆周角定理求解即可；

（2）连接OC，证明△BOC和△DOC都是等边三角形，进而即可证明结论；

（3）分别计算△BOD，△AOD和△AOB的面积，再求和即可．

（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠C+∠BAD=180°，

∵∠C=2∠BAD，

∴∠C=120°，∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°；

（2）如图1连接OC，

∵BC=CD，

∴∠BOC=∠DOC=60°，

∵OB=OC=OD，

∴△BOC和△DOC都是等边三角形，

∴OB=OC=OD=BC=DC，

∴四边形OBCD是菱形，

（3）如图2，连接OA，过点A作BO的垂线交BO的延长线于点N，

∵∠BOD=120°，OB=OD，

∴∠ODM=30°，

∵∠BOM=∠DOM，

∴OM⊥BD，

∴OM=r，DM=r，

∴BD=2DM=r，

∴S△BOD＝r2，

∵∠ODA=45°，OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA=45°，

∴∠AOD=90°，

∴S△AOD＝r2，

∵∠BOD=120°，∠AOD=90°，

∴∠AOB=150°，

∴∠AON=30°，

∴AN=OA=r，

∴S△AOB＝r2，

∴△ABD的面积为r2+r2+r2=（1+）r2．