Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE．

（2）若DE=，AB=6，求AE的长．

（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）4；（3）AC=BC．

【解析】

（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；

（2）先证△CDE∽△CAB得，据此求得CE的长，依据AE=AC-CE=AB-CE可得答案；

（3）由BD=CD知S△CDE=S△BDE，证△OBF∽△ABE得，据此知S△ABE=4S△OBF，结合知S△ABE=6S△CDE，S△CAB=8S△CDE，由△CDE∽△CAB知，据此得出，结合BD=CD，AB=AC知，从而得出答案．

（1）连接AD，

∵AB是直径，

∴∠AEB=∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴∠CAD=∠BAD，BD=CD，

∴，

∴OD⊥BE；

（2）∵∠AEB=90°，

∴∠BEC=90°，

∵BD=CD，

∴BC=2DE=2，

∵四边形ABDE内接于⊙O，

∴∠BAC+∠BDE=180°，

∵∠CDE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠BAC，

∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAB，

∴，即，

∴CE=2，

∴AE=AC-CE=AB-CE=4；

（3）∵BD=CD，

∴S△CDE=S△BDE，

∵BD=CD，AO=BO，

∴OD∥AC，

∵△OBF∽△ABE，

∴，

∴S△ABE=4S△OBF，

∵，

∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，

∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，

∵△CDE∽△CAB，

∴，

∴，

∵BD=CD，AB=AC，

∴，即AC=BC．