Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l的解析式为y=kx+5-4k（k＞0）．

（1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；

（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D；

（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰三角形，试探究：当函数y=kx+5-4k为正比例函数时，点N的个数有______个．

Answer

（1）y=x+2；（2）详见解析；（3）2.

【解析】

（1）将点B坐标代入解析式可求解；

（2）由题意可得点D（4，5），由y=kx+5-4k=k（x-4）+5可知，当x-4=0时，不论k为何值，直线l总经过点（4，5），即可得结论；

（3）由题意可求k=，即可求点O与点M重合，等腰三角形的性质可求点N的个数．

【解析】
（1）∵直线l经过点B（0，2）、

∴2=5-4k

∴k=

∴一次函数解析式为：y=x+2

（2）∵A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），

∴点D（4，5）

∵y=kx+5-4k=k（x-4）+5

∴当x=4时，y=5，

∴不论k为何值，直线l总经过点（4，5）

即不论k为何值，直线l总经过点D；

（3）∵函数y=kx+5-4k为正比例函数

∴5-4k=0

∴k=

∴函数解析式为：y=x

∴点M与点O重合，如图，即BM=2

∵△NBD为等腰三角形，

∴作BD的垂直平分线交DO于点N，或以点D为圆心，BD为半径作圆，交线段DO于点N

∴点N的个数为2．

故答案为：2