Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=2x+8与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且OA=OC．点P为线段AC（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O逆时针旋转90°，得线段OQ（见图2）

（1）分别求出点B、点C的坐标；

（2）如图2，连接AQ，求证：∠OAQ=45°；

（3）如图2，连接BQ，试求出当线段BQ取得最小值时点Q的坐标．

Answer

（1）B（-4，0），C（8，0）；（2）详见解析；（3）点Q坐标为（-6，2）．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）只要证明△OAQ≌△OPC，可得∠OAQ=∠OCP=45°；

（3）因为∠OAQ=45°，设直线AQ交x轴与E，则点Q在直线AE上 运动，根据垂线段最短可知当BQ⊥AE时，BQ的长最短，求出直线AE、BQ的解析式，利用方程组确定交点Q的坐标即可；

【解析】
（1）对于直线y=2x+8令x=0得到y=8，令y=0，得到x=-4，

∴A（0，8），B（-4，0），

∴OA=OC=8，

∴C（8，0）．

（2）由旋转可知，OP=OQ，∠POQ=∠AOC=90°，

∴∠AOQ=∠COP，

在△AOQ和△COP中，

，

∴△OAQ≌△OPC，

∴∠OAQ=∠OCP，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OCA=45°，

∴∠OAQ=45°．

（3）如图2中，

∵∠OAQ=45°，设直线AQ交x轴与E，则点Q在直线AE上运动，

∵A（0，8），E（-8，0），

∴直线AE的解析式为y=x+8，

根据垂线段最短可知当BQ⊥AE时，BQ的长最短，

∵BQ⊥AE，

∴直线BQ的解析式为y=-x-4，

由，解得，

∴当BQ最短时，点Q坐标为（-6，2）．