Question

如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．

（1）求证：OE＝CD；

（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

(1)证明四边形OCED是矩形即可；(2)在Rt△ACE中，求出AC，CE的长，则可用勾股定理求AE.

(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，DE＝AC，∴AC⊥BD，DE＝OC.

∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形.

∵AC⊥BD，四边形OCED是平行四边形，

∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD.

(2)证明：∵菱形ABCD的边长为6，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝CO＝AC.

∵∠ABC＝60°，AB＝BC，

∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6.

∵△AOD中BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，∴OD＝.

∵四边形OCED是矩形，∴CE＝OD＝.

∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝，

∴AE＝.