Question

如图，抛物线y＝﹣x²﹣2x+c的经过D（﹣2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）、与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式和A、B两点坐标；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得∠OAP＝∠BCO，求点P的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上．

①当∠ACM＝90°时，求点M的坐标；

②是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣2x+3，A（﹣3，0），B（1，0）（2）P1（﹣1，）；P2（﹣1，﹣）（3）M1（﹣2，3），M2（﹣4，﹣5），M3（2，﹣5）

【解析】

（1）将点D代入函数解析式求出c,进而表示出二次函数的一般式：y＝﹣x2﹣2x+3，令y=0即可求出A,B的坐标；

（2）求出二次函数的对称轴,进而求出AH=2, C（0，3），当点P在x轴的上方时，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，易证△AHP∽△COB，得 ，即可求出点P1（﹣1，）；当点P在x轴的下方时，即与点P1关于x轴对称时，点P2（﹣1，﹣）；

（3）①过点M作MI⊥y轴，垂足为I，由（2）知：AO＝CO，则∠ACO＝∠CAO＝45°，利用等腰直角三角形性质得MI＝CI，设M（x，﹣x+3），找到等量关系﹣x2﹣2x+3＝﹣x+3，即可求出M（﹣1，4）；②设出M,N的坐标,分别求出对角线的中点,利用平行四边形的对角线互相平分这一性质建立方程组,求解即可,见详解.

（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的经过D（﹣2，3），

∴﹣4+4+c＝3，

解得：c＝3，

即抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，

设y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令抛物线对称轴和x轴交于点H,

∴AH＝2，令x＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝3，

即点C（0，3），

当点P在x轴的上方时，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H，

∵∠OAP＝∠BCO，∠AHP＝∠COB＝90°，

∴△AHP∽△COB，

∴ ，

即，

解得：PH＝，

∴点P1（﹣1，）；

当点P在x轴的下方时，即与点P1关于x轴对称时，点P2（﹣1，﹣）；

综上所述：点P的坐标为：P1（﹣1，）；P2（﹣1，﹣）；

（3）①过点M作MI⊥y轴，垂足为I，由（2）知：AO＝CO，则∠ACO＝∠CAO＝45°，

∵∠ACM＝90°，

∴∠MCI＝45°，

∴MI＝CI，设M（x，﹣x+3），

∴﹣x2﹣2x+3＝﹣x+3，

解得：x1＝﹣1，x2＝0（舍去），

即M（﹣1，4）；

②假设存在满足题意的M,N,设M（m,-m2-2m+3）,N(-1,n)由（1）（2）问可知A(-3,0)C(0,3),

若AC为平行四边形对角线,

∵线段AC的中点坐标为（,）,线段MN的中点坐标为（）,

∴

解得：m=-2,n=0,则-m2-2m+3=3,即点M的坐标为M1（﹣2，3），

若AN为平行四边形对角线,同理可得

解得：m=-4,n=-2,则-m2-2m+3=-5,即点M的坐标为M2（﹣4，﹣5），

若AM为平行四边形对角线,同理可得

解得：m=2,n=-8,则-m2-2m+3=-5,即点M的坐标为M3（2，﹣5）

所以M有三点，此M的坐标为M1（﹣2，3），M2（﹣4，﹣5），M3（2，﹣5）