Question

如图，在正方形ABCD和正方形AEFG中，边AE在边AB上，AB=，AE=1．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，设BE的延长线交直线DG于点P，当点P，G第一次重合时停止旋转．在这个过程中：

（1）∠BPD=______度；

（2）点P所经过的路径长为______．

Answer

90.

【解析】

（1）根据正方形性质证△EAB≌△GAD（SAS），得∠ABE=∠ADG，由∠ABE+∠AOB=90°，∠AOB=∠DOP，得∠DOP+∠ADG=90°；（2）当P、G重合时，作AH⊥BG于H．点P经过路径是图中弧AG．根据三角函数知识，求出∠ABH=30°，∠AOG=2∠ABG=60°，的长=.

【解析】
（1）如图1中，设AD交PB于点O．

∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠GAE，

∴∠EAB=∠GAD，

∴△EAB≌△GAD（SAS），

∴∠ABE=∠ADG，

∵∠ABE+∠AOB=90°，∠AOB=∠DOP，

∴∠DOP+∠ADG=90°，

∴∠BPD=90°．

故答案为90．

（2）如图2中，当P、G重合时，作AH⊥BG于H．

∵∠BPD=90°，

∴点P经过路径是图中弧AG．

∵AE=AG=1，∠EAG=90°，

∴EG=，

∵AH⊥EG，

∴HG=HE，

∴AH=，

∴sin∠ABH=，

∴∠ABH=30°，

∴∠AOG=2∠ABG=60°，

∴的长=．

故答案为．