Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上，连接AD．

（1）若BC=8，AC=6，求△ABD的面积；

（2）设∠BDA=x°，求∠BAC的度数（用含x的式子表示）．

Answer

（1）30; （2）（2x-90）°.

【解析】

（1）根据勾股定理求AB，根据旋转性质得DE=AC=6，根据三角形面积公式可求解；（2）把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，∠DBA=∠ABC，DB=AB，设∠DBA=∠ABC，DB=AB，根据三角形内角和得∠ABD=180°-2x°=∠ABC，故∠BAC=90°-（180°-2x°）.

【解析】
（1）∵∠C=90°，BC=8，AC=6，

∴AB==10，

∵把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，

∴DE=AC=6，

∴S△ABD=AB×DE=×6×10=30;

（2）∵把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，

∴∠DBA=∠ABC，DB=AB，

∴设∠BDA=∠BAD=x°，

∵∠ABD=180°-∠BDA-∠BAD，

∴∠ABD=180°-2x°=∠ABC，

∵∠BAC=90°-∠ABC，

∴∠BAC=90°-（180°-2x°）=（2x-90）°