Question

涌泉镇是中国无核蜜桔之乡，已知某蜜桔种植大户冯大爷的蜜桔成本为2元/千克，如果在未来90天蜜桔的销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为p=，且蜜桔的日销量y（千克）与时间t（天）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：

时间t/天	1	10	20	40	70	90
日销售量y/千克	105	150	200	300	450	550

（1）求y与t之间的函数表达式；

（2）在未来90天的销售中，预测哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？

（3）在实际销售的后50天中，冯大爷决定每销售1千克蜜桔就捐赠n元利润（n＜5）给留守儿童作为助学金，销售过程中冯大爷发现，恰好从第51天开始，和前一天相比，扣除捐赠后的日销售利润逐日减少，请求出n的取值范围．

Answer

（1）y=5t+100；（2）前60天利润最大，最大利润为3200元；（3）n的取值范围为1.9≤n＜5．

【解析】

（1）运用待定系数法求出函数解析式；（2）设第x天的销售利润为w元．当1≤t≤40时，由题意w=（12-2）（5t+100）=50t+1000；当t=40时w最大值为3000元；当41≤t≤90时，w=（5t+100）（-t+16-2）=-t2+60t+1400，再求函数最值；（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．由题意m=（5t+100）（-t+16-2）-（5t+100）n=-t2+（60-5n）t+1400-100n，根据实际得49.5≤60-5n＜50.5，1.9＜n≤2.1，可进一步求出n的取值范围.

【解析】
（1）设y=kt+b，把t=1，y=105；t=10，y=150代入得到：，

解得：，

∴y=5t+100；

（2）设第x天的销售利润为w元．

当1≤t≤40时，由题意w=（12-2）（5t+100）=50t+1000；

当t=40时w最大值为3000元；

当41≤t≤90时，w=（5t+100）（-t+16-2）=-t2+60t+1400，

∵对称轴t=60，a=-＜0，

∴在对称轴左侧w随x增大而增大，

∴t=60时，w最大值=3200，

综上所述前60天利润最大，最大利润为3200元．

（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．

由题意m=（5t+100）（-t+16-2）-（5t+100）n=-t2+（60-5n）t+1400-100n，

∵在后50天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而减少，

∴49.5≤60-5n＜50.5，

∴1.9＜n≤2.1．

又∵n＜5，

∴n的取值范围为1.9≤n＜5．