Question

如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P在劣弧BC上（不与点B，C重合）．

（1）如图1，若PA是⊙O的直径，则PA______PB+PC（请填“＞”，“=”或“＜”）

（2）如图2，若PA不是⊙O的直径，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请说明理由：如果成立，请给出证明．

（3）如图3，若四边形ACPB的面积是16．

①求PA的长；

②设y=S_△PCB+S_△PCA，求当PC为何值时，y的值最大？并直接写出此时⊙O的半径．

Answer

（1）=；（2）结论仍然成立，理由见解析．（3）①PA=8，②PC=5，y的值最大，△ABC的外接圆的半径为 ．

【解析】

（1）根据△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的外接圆，PA是直径，得PC=PA，PB=PA；（2）根据等边三角形的性质和判定，可证△CBE≌△ABE（SAS），PC=AE，故PA=PE+AE=PB+PC；（3）①如图3中，作CM⊥PA于M，BN⊥PA于N．根据S四边形ACPB=S△PAC+S△PAB得16=PA•CM+•PA•BN，根据三角函数得CM=PC•sin60°，BN=PC•sin60°，故16=•PA•（PB+PC），PA2=64；②设PC=x，则PB=8-x，

由y=S△PCB+S△PCA=•PC•PB•sin60°+•8•PC•sin60°，得y=x（8-x）+x=-x2+x=-（x-5）2+，根据二次函数二次函数最值性质和勾股定理可求解.

【解析】
（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的外接圆，PA是直径，

∴PA平分∠BAC，∠ACP=∠ABP=90°，

∴∠PAC=∠PAB=×60°=30°，

∴PC=PA，PB=PA，

∴PA=PB+PC．

故答案为=．

（2）结论仍然成立．

理由：如图2中，在PA上取一点E，使得PE=PB．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠APB=∠ACB=60°，

∵PE=PB，

∴△PBE是等边三角形，

∴∠PBE=∠ABC=60°，

∴∠ABE=∠CBP，

∵BC=BA，BP=BE，

∴△CBE≌△ABE（SAS），

∴PC=AE，

∴PA=PE+AE=PB+PC．

（3）①如图3中，作CM⊥PA于M，BN⊥PA于N．

∵S四边形ACPB=S△PAC+S△PAB，

∴16=PA•CM+•PA•BN，

∵∠APC=∠ABC=60°，∠APB=∠ACB=60°，

∴CM=PC•sin60°，BN=PC•sin60°，

∴16=•PA•（PB+PC），

∵PB+PC=PA，

∴PA2=64，

∵PA＞0，

∴PA=8．

②设PC=x，则PB=8-x，

∵y=S△PCB+S△PCA=•PC•PB•sin60°+•8•PC•sin60°，

∴y=x（8-x）+x=-x2+x=-（x-5）2+，

∵-＜0，

∴x=5时，y有最大值，

∴PC=5，CM=，PM=，AM=，

在Rt△ACM中，AC==7，

∴△ABC的外接圆的半径为．