Question

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F.

（1）求证：OE=OF；

（2）若正方形ABCD的边长为1，求两个正方形重叠部分的面积；

（3）若正方形 A′B′C′D′绕着O点旋转，EF的长度何时最小，并求出最小值.

Answer

（1）见解析;（2）;（3）.

【解析】

（1）利用正方形的性质可得△BOE≌ △COF，即可证得OE=OF,

（2）由△BOE≌ COF，得两个正方形重叠部分的面积=S四边形ECFO=S△OEC+S△OFC= S△OEC+S△OEB=S△BOC，即可求出；

（3）利用勾股定理表示出EF的表达式，即可得到OE⊥BC时，EF最小值.

（1）在正方形ABCD中，∠OBE=∠OCF=45°，BO=CO,

又∵∠BOE+∠EOC=∠EOC+∠COF=90°，

∴∠BOE=∠COF

∴△BOE≌△COF

∴OE=OF；

（2）∵△BOE≌△COF

∴两个正方形重叠部分的面积=S四边形ECFO=S△OEC+S△OFC= S△OEC+S△OEB=S△BOC=S正方形ABCD=

（3）连接EF，∵∠EOF=90°，

∴EF2=OE2+OF2，

∵OE=OF,

∴EF2=2OE2，

∴要使EF最小，则OE最小，

∴当OE⊥BC时，OE最小=

∴EF2=

故EF最小值为