Question

如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4cm．

（1）求证：AC⊥OD；

（2）求OD的长；

（3）若2sinA﹣1＝0，求⊙O的直径．

Answer

（1）见解析；（2）OD＝2cm；（3）⊙O的直径是8cm．

【解析】

（1）根据圆周角定理即可证明；（2）中位线定理与垂径定理即可得出OD=；（3）根据2sinA﹣1＝0，得出∠A＝30°，再根据三角函数的性质即可求解.

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝90°．

∵OD∥BC，

∴∠ADO＝∠C＝90°．

∴AC⊥OD．

（2）∵OD∥BC，O是AB的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴点D是AC的中点，

∴OD＝BC＝×4＝2cm；

（3）∵2sinA﹣1＝0，

∴sinA＝．

∴∠A＝30°．

在Rt△ABC中，∠A＝30°，

∴BC＝AB．

∴AB＝2BC＝8（cm）．

即⊙O的直径是8cm．