Question

如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是(   )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Answer

C

【解析】

用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明△CDB∽△BDE，求出相关线段的长；易证△GAB≌△DBC，求出相关线段的长；再证AG∥BC，求出相关线段的长，最后求出△ABC和△BDF的面积，即可作出选择．

由题意知，△ABC是等腰直角三角形，

设AB＝BC＝2，则AC＝2，

∵点D是AB的中点，

∴AD＝BD＝1，

在Rt△DBC中，DC＝，（勾股定理）

∵BG⊥CD，

∴∠DEB＝∠ABC＝90°，

又∵∠CDB＝∠BDE，

∴△CDB∽△BDE，

∴∠DBE＝∠DCB， ,即

∴DE＝ ，BE＝,

在△GAB和△DBC中，

∴△GAB≌△DBC(ASA)

∴AG＝DB＝1，BG＝CD＝，

∵∠GAB+∠ABC＝180°，

∴AG∥BC，

∴△AGF∽△CBF，

∴，且有AB＝BC，故①正确，

∵GB＝，AC＝2，

∴AF＝＝，故③正确，

GF＝，FE＝BG﹣GF﹣BE＝，故②错误，

S△ABC＝AB•AC＝2，S△BDF＝BF•DE＝××＝，故④正确．

故选：B．