Question

△ABC为等边三角形，．．

(1)求证：四边形是菱形．

(2)若是的角平分线，连接，找出图中所有的等腰三角形．

Answer

(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．

【解析】

（1）先求证BD∥AF，证明四边形ABDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分线段AC，进而证明△DAC是等腰三角形，根据BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之间的关系,证明△DAE是等腰三角形，进而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解题,见详解.

(1)如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，

∴BC＝BD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，

∵AB＝AF，

∴BD＝AF，

∵∠BDC＝∠AEC，

∴BD∥AF，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∵AB＝AF，

∴四边形ABDF是菱形．

(2)【解析】
如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，

∴BD垂直平分线段AC，

∴DA＝DC，

∴△DAC是等腰三角形，

∵AF∥BD，BD⊥AC

∴AF⊥AC，

∴∠EAC＝90°，

∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴DA＝DE，

∴△DAE是等腰三角形，

∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，

∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，

综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．