Question

如图①，直线y=﹣x+8与x轴交于点A，与直线y=x交于点B，点P为AB边的中点，作PC⊥OB与点C，PD⊥OA于点D．

（1）填空：点A坐标为　   　，点B的坐标为　   　，∠CPD度数为　   　；

（2）如图②，若点M为线段OB上的一动点，将直线PM绕点P按逆时针方向旋转，旋转角与∠AOB相等，旋转后的直线与x轴交于点N，试求MB•AN的值；

（3）在（2）的条件下，当MB＜2时（如图③），试证明：MN=DN﹣MC；

（4）在（3）的条件下，设MB=t，MN=s，直接写出s与t的函数表达式．

Answer

（1）（8，0），（4，4），120°．（2）16；（3）证明见解析；（4）S=+t﹣4（0＜t＜2）．

【解析】（1）利用待定系数法可得A、B两点坐标，根据tan∠BOA=，可得∠BOA=60°，再根据四边形内角和定理可求∠CPD；

（2）只要证明△PAN∽△MBP，可得，由此即可解决问题；

（3）如图③中，在DO上截取DK=MC，连接OP．只要证明△PCM≌△PDK，△PNM≌△PNK即可解决问题；

（4）利用（2）（3）中的结论即可解决问题；

（1）如图①中，

对于直线y=﹣x+8，令y=0，解得x=8，可得A（8，0），

由，解得，

∴B（4，4），

∴tan∠BOA=，

∴∠BOA=60°，

∵PC⊥OB与点C，PD⊥OA于点D，

∴∠PCO=∠PDO=90°，

∴∠CPD=120°，

故答案为（8，0），（4，4），120°．

（2）如图②中，

∵OA=OB=8，∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OA=OB=8，∠OBA=∠OAB=60°，

∴PA=PB=4，

∵∠APM=∠APN+∠MPN=∠PMB+∠PBM，

∵∠MPN=∠PBM=60°，

∴∠APN=∠PMB，

∴△PAN∽△MBP，

∴，

∴MB•AN=4×4=16．

（3）如图③中，在DO上截取DK=MC，连接OP．

∵OB=OA，PB=PA，

∴∠POB=∠POA，

∵PC⊥OB与点C，PD⊥OA于点D，

∴PC=PD，∵∠PCM=∠PDK=90°，MC=DK，

∴△PCM≌△PDK，

∴PM=PK，∠CPM=∠DPK，

∴∠MPK=∠CPD=120°，

∵∠MPN=60°，

∴∠MPN=∠KPN=60°，∵PN=PN，

∴△PNM≌△PNK，

∴MN=KN=DN﹣DK=DN﹣CM．

（4）如图③中，由（2）可知：AN=，易知BC=AD=2，

∵MN=DN﹣CM，

∴MN=（AN﹣AD）﹣（BC﹣BM），

∴S=﹣2﹣（2﹣t）=+t﹣4（0＜t＜2）．