Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F．

（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；

（2）若AB=16，AC=12，求四边形ADCE的面积；

（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论．

Answer

（1）详见解析；（2）24（3）应添加条件AC=BC．

【解析】

(1)由题意容易证明CE平行且等于AD，又知AC⊥DE，所以得到四边形ADCE为菱形；

(2)根据解三角形的知识求出AC和DF的长，然后根据菱形的面积公式求出四边形ADCE的面积；

(3)应添加条件AC=BC，证明CD⊥AB且相等即可．

(1)∵平行四边形DBCE，

∴CE∥BD，CE=BD，

∵D为AB中点，

∴AD=BD，

∴CE∥AD，CE=AD，

∴四边形ADCE为平行四边形，

又BC∥DE，

∴∠AFD=∠ACB=90°，

∴AC⊥DE，

∴四边形ADCE为菱形；

(2)在Rt△ABC中，∵AB=16，AC=12，

∴BC==4，

∵D为AB中点，F也为AC的中点，

∴DF=2，

∴四边形ADCE的面积=AC×DF=24；

(3)应添加条件AC=BC．

证明如下：∵AC=BC，D为AB中点，

∴CD⊥AB(三线合一的性质)，即∠ADC=90°，

∵四边形ADCE为菱形；，

∴四边形ADCE为正方形．