Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．

(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

Answer

（1）证明见解析；（2）P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）见解析.

【解析】

（1）证明：在正方形中，

无论点运动到上何处时，都有

＝ ∠＝∠＝

∴△≌△

(2)【解析】
△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，

过点Q作⊥于,⊥于，则 ＝

＝＝

∴＝

由△ ∽△得解得

∴时，△的面积是正方形面积的

（3）若△是等腰三角形，则有＝或＝或＝

①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知＝

此时△是等腰三角形

②当点与点重合时，点与点也重合，

此时＝, △是等腰三角形

③【解析】
如图，

设点在边上运动到时，有＝

∵∥∴∠＝∠

又∵∠＝∠ ∠＝∠

∴∠＝∠

∴＝＝

∵＝＝＝4

∴

即当时，△是等腰三角形

(1)两边一角 AQ=AQ AB=AD=4 角DAQ=角BAQ=45度 所以两个三角形全等。

(2)做QE垂直于AD ,△DQE相似于△DPA,△ADQ面积=ADQE/2 ,正方形面积=ADAB ,△ ADQ的面积是正方形面积的1/6 ,则QE="AB/3=4/3" ,△AQE是等腰直角三角形, 则AQ="QE=4/3" ,DQ=AD-AQ=8/3,△DQE相似△DPA中, DQ/AD=QE/AP,带入数据 得8/3 /4=" 4/3" /AP,故AP="2," 因为AB="4" 则P点正好运动到AB的中点

(3)假设△ADQ恰好为等腰三角形,P在 ABC上运动 首先当AD=QD=4时 Q与C点刚好重合 所以P运动到C点 △ADQ为等腰三角形；当P运动到B点时，AQ="QD" △ADQ为等腰直角三角形；当AD=AQ=4时,△ADQ与△CPQ相似,则PC=CQ=AC-AQ=,则P运动到距离C点时,△ADQ为等腰三角形