Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．

初步探究

（1）写出点B的坐标______；

（2）点C在x轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP．

深入探究

（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论；并求出这个图形所对应的函数表达式．

拓展应用

（4）点C在x轴上移动过程中，当△POB为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标．

Answer

(1)（，1）；(2)证明见解析；(3)点P在过点B且与AB垂直的直线上，点P所在直线的函数表达式为y=x﹣2；(4)（﹣2，0）或（﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）．

【解析】

（1）如图1中，作BH⊥OA于H．利用等边三角形的性质，解直角三角形求出BH、OH即可；

（2）根据SAS即可判断；

（3）点P在过点B且与AB垂直的直线上．当点P在y轴上时，得P（0，﹣2）．由B（，1）．设点P所在直线的函数表达式为：y=kx+b（k≠0）．把点B、P的坐标分别代入即可解决问题；

（4）分四种情形分别求解即可解决问题；

(1)如图1中，作BH⊥OA于H．

∵△AOB是等边三角形，OA=OB=AB=2，∠BOH=60°

在Rt△OBH中，BH=OB•sin60°=，OH=AH=1，

∴B（，1）．

(2)如图2中

∵△AOB与△ACP都是等边三角形，

∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，

即∠CAO=∠PAB，

在△AOC与△ABP中，

∴△AOC≌△ABP（SAS）．

(3)如图2中，∵△AOC≌△ABP（SAS）．

∴∠ABP=∠AOC=90°，

∴PB⊥AB，

∴点P在过点B且与AB垂直的直线上．

当点P在y轴上时，得P（0，﹣2）．

∵B（，1）．

设点P所在直线的函数表达式为：y=kx+b（k≠0）．把点B、P的坐标分别代入，得

所以点P所在直线的函数表达式为：y=x﹣2．

(4)如图3中，

①当OB=BP1=2时，OC1=BP1=2，此时C1（2，0）．

②当P2O=P2B时，OC2=BP2=，此时C2（﹣，0）．

③当OB=BP3=2时，OC3=2，此时C3（﹣2，0）．

④当OB=OP4时，OC4=BP4=2，此时C4（﹣2，0），

故答案为（﹣2，0）或（﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）．