Question

如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB交CA延长线于点E，连接AD、BD

(1)△ABD的面积是______；

(2)求证：DE是⊙O的切线．

(3)求线段DE的长．

Answer

25 （2）见解析 （3）

【解析】

整体

（1）判断△ABD是等腰直角三角形后，再求它的面积；（2）连接OD，证明∠ODE=90°；（3）过点A作AF⊥DE于点F，用tan∠EAF=tan∠CBA求EF即可.

解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，

∵CD平分∠ACB，∴AD=BD，

∴S△ABD=×10×5=25；

（2）如图，连接OD，

∵AB为直径，CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∴∠AOD=90°，

∵DE∥AB，∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；

（3）∵AB=10，AC=6，∴BC==8，

过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，

∴AF=OD=FD=5，

∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，

∴tan∠EAF=tan∠CBA，

∴，即，∴EF=15，

∴DE=DF+EF=+5=