Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，BC=AC，E，F分别是AB，CD的中点，连接CE并延长交DA的延长线于M，连接AF并延长交BC的延长线于N．

（1）求证：△ABN≌△CDM；

（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）当∠B=45°时，四边形AECF是正方形，理由见解析.

【解析】

（1）根据平行四边形得到AB=CD，AB∥CD，∠B=∠D，根据线段中点的定义得到AE=AB，CF=CD，推出四边形AECF是平行四边形，得到四边形AECF是矩形，根据全等三角形的判定定理得到结论；

（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，∠B=∠D，

∵E，F分别是AB，CD的中点，

∴AE=AB，CF=CD，

∴AE=CF，

∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC=CB，

∴CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴四边形AECF是矩形，

∴∠BAN=∠DCM=90°，

在△ABN与△CDM中，，

∴△ABN≌△CDM（ASA）；

（2）【解析】
当∠B=45°时，四边形AECF是正方形，

理由：∵BC=AC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵E是AB的中点，

∴CE⊥AB，

∴AE=EC，

∴矩形AECF是正方形．