Question

如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ．

（1）证明：CP=CQ；

（2）求∠PCQ的度数；

（3）当点D是AB中点时，请直接写出△PDQ是何种三角形．

Answer

（1）见解析；（2）∠PCQ=120°；（3）△PDQ是等边三角形.

【解析】

(1)由折叠直接得到结论；

(2)由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意义求出∠PCQ=120°；

(3)先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ=60°，即可．

(1)∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，

∴CP=CD=CQ；

(2)∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，

∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，

∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，

∴∠PCQ=360°-(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°-(120°+120°)=120°；

(3)△PDQ是等边三角形．

理由：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，

∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，

∵∠DAC=30°，

∴∠PAD=60°，

∴△APD是等边三角形，

∴PD=AD，∠ADP=60°，

同理：△BDQ是等边三角形，

∴DQ=BD，∠BDQ=60°，

∴∠PDQ=60°，

∵当点D在AB的中点，

∴AD=BD，

∴PD=DQ，

∴△DPQ是等边三角形