Question

在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．

（1）如图1，若点D在线段BC上，证明：∠BAD=∠EDC；

（2）如图1，若点D在线段BC上，证明：①AD=DE；②BC=DC+2CF（提示：构造全等三角形）；

（3）如图2，若点D在线段BC的延长线上，直接写出BC、DC、CF三条线段之间的数量关系．

Answer

（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）BC=2CF-DC；理由见解析.

【解析】

(1)由等边三角形的性质得出∠B=60°，再由三角形的外角性质结合已知条件，即可得出结论；

(2)过D作DG∥AC交AB延长线于G，证得△AGD≌△DCE，得出：①AD=DE；进一步利用GD=CE，BD=CE得出②BC=DC+2CF；

(3)过D作DG∥AC交AB延长线于G，由平行线和等边三角形的性质得出∠BGD=∠BDG=∠B=60°，证出△GBD是等边三角形，证出AG=CD，再证出∠GAD=∠CDE，证明△AGD≌△DCE，得出GD=CE，进而得出结论．

(1)∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠ADE=60°，

∴∠BAD=∠EDC；

(2)①过D作DG∥AC交AB于G，如图1所示：

∵△ABC是等边三角形，AB=BC，

∴∠B=∠ACB=60°，

∴∠BDG=∠ACB=60°，

∴∠BGD=60°，

∴△BDG是等边三角形，

∴BG=BD，∠AGD=∠B+∠BDG=60°+60°=120°，

∴AG=DC，

∵CE是∠ACB外角的平分线，

∴∠DCE=120°=∠AGD，

由(1)知∠GAD=∠EDC，

在△AGD和△DCE中，，

∴△AGD≌△DCE(ASA)，

∴AD=DE；

②∵△AGD≌△DCE，

∴GD=CE，

∴BD=CE，

∵EF⊥BC，CE是∠ACB外角的平分线，

∴∠ECF=60°，∠CEF=30°，

∴CE=2CF，

∴BC=CE+DC=DC+2CF；

(3)BC=2CF-DC；理由如下：

过D作DG∥AC交AB延长线于G，如图2所示：

∵DG∥AC，△ABC是等边三角形，

∴∠BGD=∠BDG=∠B=60°，

∴△GBD是等边三角形，

∴GB-AB=DB-BC，即AG=DC，

∵∠ACB=60，CE是∠ACB的外角平分线，

∴∠DCE=∠ACE=×(180°-∠ACB)=60°，

∴∠AGD=∠DCE=60°，

∵∠GAD=∠B+∠ADC=60°+∠ADC，

∠CDE=∠ADC+∠ADE=∠ADC+60°，

∴∠GAD=∠CDE，

在△AGD和△DCE中，，

∴△AGD≌△DCE(ASA)，

∴GD=CE，

∴BD=CE，

∵CE=2CF，

∴BC=BD-DC=CE-DC=2CF-DC．