Question

直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动。

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况；若不发生化,试求出∠AEB的大小；

（2）如图2，AB不平行CD，DE、CE分别平分∠ADC、∠BCD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否发生变化?若发生变化,请说明变化情况；若不发生变化，求出∠CED的大小；

（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数.

Answer

（1）∠AEB=135°；（2）∠E=67.5°；（3）∠ABO为60°或45°．

【解析】

根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知，再由AE、BE分别是和的角平分线得出，，由三角形内角和定理即可得出结论；

延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出，进而得出，故，再由AD、BC分别是和的角平分线，可知，，由三角形内角和定理可知，再根据DE、CE分别是和的角平分线可知，进而得出结论；

由与的角平分线相交于E可知，，进而得出的度数，由AE、AF分别是和的角平分线可知，在中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．

【解析】
的大小不变，

直线MN与直线PQ垂直相交于O，

，

，

、BE分别是和角的平分线，

，，

，

；

的大小不变．

延长AD、BC交于点F．

直线MN与直线PQ垂直相交于O，

，

，

，

、BC分别是和的角平分线，

，，

，

，

，

，

、CE分别是和的角平分线，

，

；

与的角平分线相交于E，

，，

，

、AF分别是和的角平分线，

在中，

有一个角是另一个角的3倍，故有：

，，；

，，；

，，；

，，．

为或．

故答案为：或．