Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．

求抛物线的解析式；

若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer

（1)抛物线的解析式为 y=x²+x-4；（2）S= =-（m+2）2+4，4；（3）Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）或（4，-4）

【解析】

（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
（2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM-S△AOB即可进行解答；
（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．

（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），

将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：

，解得，

所以此函数解析式为：y=x2+x﹣4；

（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，

∴M点的坐标为：（m，m2+m﹣4），

∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB

=×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4

=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m，

=﹣（m+2）2+4，

∵﹣4＜m＜0，

当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2时，S有最大值，S=4．

（3）设P（x， x2+x﹣4）．

当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，

∴Q的横坐标等于P的横坐标，

又∵直线的解析式为y=﹣x，

则Q（x，﹣x）．

由PQ=OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|=4，

解得x=0，﹣4，﹣2±2．

x=0不合题意，舍去．

如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为（4，﹣4）．

由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．