Question

关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²=0①有两个不等的实数根．

⑴求k的取值范围；

⑵若方程①的两根的平方和为7，求k的值．

Answer

（1）k＞﹣；（2）k=1．

【解析】

（1）由一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不等的实数根可知判别式Δ>0，解不等式即可.（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出两根的和与两根的积，利用完全平方公式即可列长方程进而可得答案.

（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不等的实数根，

∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，

解得：k＞﹣．

（2）设方程x2+（2k+1）x+k2=0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣2k﹣1，x1x2=k2．

∵+=（x1+x2）2﹣2x1x2=7，即（﹣2k﹣1）2﹣2k2=7，

∴k2+2k﹣3=0，

解得：k1=﹣3，k2=1．

∵k＞﹣，

∴k=1．