Question

如图，△ABC中，AC=BC，点I是△ABC的内心，点O在边BC上，以点O为圆心，OB长为半径的圆恰好经过点I，连接CI，BI．

（1）求证：CI是⊙O的切线；

（2）若AC=BC=5，AB=6，求BI的长．

Answer

(1)见解析;(2).

【解析】

（1）设∠ICB=x，∠IBC=y，得：2x+2y+2y=180°，则x+2y=90°，再证明∠IOC+∠ICO=2y+x=90°，可得∠OIC=90°，则CI是⊙O的切线；

（2）延长CI交AB于D，先计算∠CDA=90°，得CD=4，证明△OIC∽△BDC，列比例式，设⊙O的半径为r，得r的值，由，计算DI的值，根据勾股定理可得结论．

（1）证明：连接OI，
∵点I是△ABC的内心，
∴BI、CI分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
设∠ICB=x，∠IBC=y，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠A=2y，∠ACB=2x，
∴2x+2y+2y=180°，
∴x+2y=90°，
∵OB=OI，
∴∠OIB=∠OBI，
∴∠ABI=∠OIB，
∴OI∥AB，
∴∠IOC=∠ABC=2y，
∴∠IOC+∠ICO=2y+x=90°，
∴∠OIC=90°，
∴CI是⊙O的切线；

（2）【解析】
延长CI交AB于D，
∵∠ACD+∠A=x+2y=90°，
∴∠CDA=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC=5，AB=6，
∴AD=BD=3，
∴CD=4，
∵OI∥AB，
∴△OIC∽△BDC，
∴，
设⊙O的半径为r，
∴，∴r=，
∵OI∥BD，∴，
∴，∴DI=，
由勾股定理得：BI==．