Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（3，0），B（﹣5，0），C（0，﹣5）三点，O为坐标原点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）把抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）向上平移个单位长度，再向左平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；

（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．

Answer

（1）y=x2+x﹣5；（2）0＜n＜3；（3）PC=7或17．

【解析】

（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+5），将点C（0，﹣5）的坐标代入抛物线解析式中，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）先求得平移后新抛物线的顶点坐标，再根据新抛物线的顶点M在△ABC内求得n的取值范围；

（3）分点P在y轴负半轴上和点P在y轴正半轴上两种情况进行讨论，求出两种情况下CP的长度。

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（3，0），B（﹣5，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+5），

∵抛物线过点C（0，﹣5），∴a×（﹣3）×5=﹣5，

∴a=，

∴抛物线解析式为y=（x﹣3）（x+5）=x2+x﹣5，

（2）记原抛物线的顶点为M'，

由（1）知，抛物线解析式为y=（x﹣3）（x+5）=（x2+2x﹣15）=（x+1）2﹣，

∴M'（﹣1，﹣），

由平移知，M（﹣1﹣n，﹣1），

∵B（﹣5，0），C（0，﹣5），

∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣5，

当y=﹣1时，﹣x﹣5=﹣1，

∴x=﹣4，

∴﹣4＜﹣1﹣n＜﹣1，

∴0＜n＜3；

（3）存在，

理由：①当P在y轴正半轴上时，如图，

过点P作PD⊥AC于D，

根据三角形的外角的性质得，∠OPA+∠OCA=∠PAD，

又∵∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，

∴∠PAD=∠CBA=45°，

∴AD=PD，

∵AO=3，CO=5，

∴AC=，

设AD=PD=m，则CD=AC+AD=m+，

又∵∠PDA=∠COA=90°，∠PCD=∠ACO，

∴△COA～△CDP，

∴==，

∴==

∴m=，

∴PC=×=17，

②当P在y轴负半轴上时，记作P'，

由①知，OP=PC﹣CO=17﹣5=12，取OP'=OP=12，如图，

则由对称知：∠OP'A=∠OPA， P'O=PO=12，

∴∠OP'A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA═45°，

同理P'也满足题目条件，∴P'C=OP'﹣OC=12﹣5=7，

综合以上得：PC=7或17．