Question

如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=2cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形．

（1）求证△AEF∽△BCE；

（2）设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围；

（3）若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B运动过程中，点H移动的距离．

Answer

（1）详见解析；（2）,；(3)3.

【解析】

（1）由∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEC，得△AEF∽△BCE；（2）由（1）△AEF∽BCE得，，即，然后求函数最值；（3）连接FH，取EF的中点M，证MA=ME=MF=MH，则A、E、H、F在同一圆上；连接AH，证∠EFH=30°由A、E、H、F在同一圆上，得∠EAH=∠EFH=30°，线段AH即为H移动的路径，在直角三角形ABH中，，可进一步求AH.

【解析】
（1）在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，

∴∠AEF+∠AFE=90°，

∵EF⊥CE，

∴∠AEF+∠BEC=90°，

∴∠AFE=∠BEC，

∴△AEF∽△BCE；

（2）由（1）△AEF∽BEC得

，，

∴，

∵=，

当时，y有最大值为，

∴；

（3）如图1，连接FH，取EF的中点M，

在等边三角形EFG中，∵点H是EG的中点，

∴∠EHF=90°，

∴ME=MF=MH，

在直角三角形AEF中，MA=ME=MF，

∴MA=ME=MF=MH，

则A、E、H、F在同一圆上；

如图2，连接AH，

∵△EFG为等边三角形，H为EG中点，∴∠EFH=30°

∵A、E、H、F在同一圆上∴∠EAH=∠EFH=30°，

如图2所示的线段AH即为H移动的路径，

在直角三角形ABH中，，

∵AB=，

∴AH=3，

所以点H移动的距离为3．