Question

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是（　　）

①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC                        ②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC

③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点           ④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer

C

【解析】

①由DE⊥AC，BF⊥AC，可得DE∥BF，又由四边形ABCD是平行四边形，利用△ACD与△ACB的面积相等，即可判定DE=BF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形BFDE是平行四边形；
②由四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，易证得△ADE≌△CBF，则可判定DE∥BF，DE=BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形；
③由四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，F是CD的中点，易证得DF∥BE，DF=BE，继而证得四边形BFDE是平行四边形；
④无法确定DF=BE，只能证得DF∥BE，故不能判定四边形BFDE是平行四边形．

①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴DE∥BF,

∴DE=BF，

∴四边形BFDE是平行四边形；

②∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC=∠ABC,AD=CB,AD∥BC，

∴∠DAE=∠BCF，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，

∴∠ADE=∠CBF，

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF(ASA)，

∴DE=BF，∠AED=∠BFC，

∴∠DEF=∠BFE，

∴DE∥BF，

∴四边形BFDE是平行四边形；

③证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵E是AB的中点，F是CD的中点，

∴

∴DF=BE，

∴四边形BFDE是平行四边形；

④∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵E是AB上一点，EF⊥AB，

无法判定DF=BE，

∴四边形BFDE不一定是平行四边形。

故选：C.