Question

在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要说明理由）

(1)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为（30︒﹤﹤180︒）

①连接DG,BE,求证：DG=BE且DG⊥BE；

②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求出四边形BGED面积的最大值.

(2)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的形状为       ，四边形MNPQ面积的最大值是         ,

Answer

(1)①证明见解析;②四边形BGED面积的最大值为6+4;（2）正方形,3+2.

【解析】

（1）①由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得DG=BE，∠AGD=∠AEB，如图所示，EB交AG于点H，利用等角的余角相等得到∠GMH =90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；

②根据①可知旋转过程中，DG=BE且DG⊥BE；当BE取得最大值，即点A,B,E在同一条直线上时，四边形BGED面积有最大值.

(2)根据中点四边形的性质可知四边形MNPQ是正方形，边长的最大值为

四边形MNPQ面积的最大值是：

(1) ①∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，

∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=，AG=AE，

∠DAB+∠GAB=∠GAB +∠GAE

∠DAG=∠BAE

在△ADG和△ABE中，

∴△ADG≌△ABE(SAS)，

∴∠AGD=∠AEB，DG=BE,

如图所示，EB交AG于点H，

在△AEH中,∠AEH+∠AHE=，

∠AEH=∠BHG,

∴∠AGD+∠BHG=，

在△HGM中, ∠AGD+∠BHG +∠GMH=，

∴∠GMH=，

则DG⊥BE；

②根据①可知旋转过程中，DG=BE且DG⊥BE；

当BE取得最大值，即点A,B,E在同一条直线上时，四边形BGED面积有最大值.

此时：DG=BE

四边形BGED面积

(2)连接BE,DG，

根据中位线的性质可得

,,

四边形MNPQ是正方形，边长的最大值为

四边形MNPQ面积的最大值是：

故答案为：正方形,3+2.