Question

如图，以矩形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB=3，BC=5．点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE翻折，点D恰好落在BC边上，记为F．

(1)求折痕AE所在直线的函数解析式______；

(2)若把翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m个单位，连结OF，若△OAF是等腰三角形，则m的值是______，

Answer

y=-x+3 3或2或.

【解析】

(1)根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=5，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E点的坐标，进而得出AE所在直线的解析式；

(2)分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可．

【解析】
(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=CB=5，AB=DC=3，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，

由折叠对称性：AF=AD=5，EF=DE，

在Rt△ABF中，BF= =4，

∴CF=1，

设EC=x，则EF=3-x，

在Rt△ECF中，12+x2=(3-x)2，

解得：x=，

∴E点坐标为：(5，)，

∴设AE所在直线解析式为：y=ax+b，

则

解得：

∴AE所在直线解析式为：y=x+3；

故答案为：y=x+3；

(2)分三种情况讨论：

若AO=AF=BC=5，

∴BO=AO-AB=2，

∴m=2；

若OF=FA，则AB=OB=3，

∴m=3，

若AO=OF，

在Rt△OBF中，AO2=OB2+BF2=m2+16，

∴(m+3)2=m2+16，

解得：m=，

综上所述，若△OAF是等腰三角形，m的值为3或2或．

故答案为：3或2或．