Question

已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=30°，∠ABC=45°，BE是AC边上的中线．

(1)求证：AC=2BD；

(2)求∠CBE的度数；

(3)若点E到边BC的距离为，求BC的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)∠CBE=15°；(3)BC=1+．

【解析】

(1)根据直角三角形的性质得到AC=2AD，AD=BD，证明结论；

(2)连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=EC=AC，根据等腰三角形的性质计算即可；

(3)作EF⊥BC于F，根据直角三角形的性质求出EC，根据勾股定理计算，得到答案．

(1)证明：在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，

∴AC=2AD，

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=45°，

∴AD=BD，

∴AC=2BD；

(2)【解析】
连接DE，

∵∠ADC=90°，BE是AC边上的中线，

∴DE=EC=AC，

∴DE=DB，∠EDC=∠C=30°，

∴∠EBC=∠EDC=15°；

(3)作EF⊥BC于F，

则EC=2EF=1，

∴AC=2，BD=AD=1，

由勾股定理得，CD==，

∴BC=BD+CD=1+．