Question

如图，一次函数y=-2x+4与x轴y轴相交于A，B两点，点C在线段AB上，且∠COA=45°．

(1)求点A，B的坐标；

(2)求△AOC的面积；

(3)直线OC上有一动点D，过点D作直线l(不与直线AB重合)与x，y轴分别交于点E，F，当△OEF与△ABO全等时，求直线EF的解析式．

Answer

(1)A(2，0)；B(0，4)；(2)S△AOC=；(3)直线EF的解析式为y=-x+2或y=-2x-4或y=2x-4或-2x+4或y=-x-2或y=x-2或y=x+2．

【解析】

(1)求出x=0时y的值和y=0时x的值即可得；

(2)设C(a，-2a+4)，作CM⊥OA，由∠COA=45°知OM=CM，据此可得a=-2a+4，求出a的值后得出CM=OM=，再根据三角形面积公式可得答案；

(3)分E、F在x、y轴的正半轴和负半轴的情况，依据△AOB≌△F1OE1、△AOB≌△E2OF2、△AOB≌△F3OE3得出OE、OF的长，从而得出点E和点F的坐标，再利用待定系数法求解可得．

【解析】
(1)在直线y=-2x+4中，当x=0时y=4，

则B(0，4)，

当y=0时，-2x+4=0，

解得x=2，

则A(2，0)；

(2)设C(a，-2a+4)，

如图1，过点C作CM⊥OA于点M，

∵∠COA=45°，

∴OM=CM，

则a=-2a+4，

解得a=，

∴CM=OM=，

∴S△AOC=OA•CM=×2×=；

(3)设直线EF解析式为y=kx+b，

如图2，

①当△AOB≌△F1OE1时，OB=OE1=4，OA=OF1=2，

则E1(4，0)，F1(0，2)，

代入y=kx+b得，

解得，

此时直线EF解析式为y=-x+2，

同理直线EF关于x轴的对称直线y=x-2也符合题意；

②当△AOB≌△E2OF2时，OB=OF2=4，OA=OE2=2，

则E2(-2，0)，F2(0，-4)，

代入y=kx+b，得：，

解得

此时直线EF解析式为y=-2x-4，

同理直线EF关于y轴的对称直线y=2x-4和关于x轴的对称直线y=-2x+4也符合要求；

③当△AOB≌△F3OE3时，OB=OE3=4，OA=OF3=2，

则E1(-4，0)，F1(0，-2)，

代入y=kx+b，得：，

解得，

此时直线EF解析式为y=-x-2，

同理直线EF关于x轴的对称直线y=x+2也符合要求；

综上，直线EF的解析式为y=-x+2或y=-2x-4或y=2x-4或-2x+4或y=-x-2或y=x-2或y=x+2．