Question

乘法公式的探究及应用．

数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：______；方法2：_______．

(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：(a+b)²，a²+b²，ab之间的等量关系．_______；

(3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个使长方形面积为：3a²+7ab+2b²，并对3a²+7ab+2b²因式分解为_______.

(4)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b＝5，a²+b²＝11，求ab的值；

②已知(x﹣2016)²+(x﹣2018)²＝34，求(x﹣2017)²的值．

Answer

(1)(a+b)2；a2+b2+2ab；(2)(a+b)2＝a2+2ab+b2；(3)3a2+7ab+2b2=(a+2b)(3a+b)；(4)①ab＝7；②(x﹣2017)2＝16．

【解析】

（1）直接利用大正方形的边长×边长；将所有的小正方形与矩形的面积相加；

（2）根据（1）与大正方形的面积不变即可得解；

（3）根据题意画出图形，再利用面积相等的列出等式即可；

（4）①根据题意将a+b平方，利用完全平方公式变形求解即可；

②利用完全平方公式去括号将原式变为2（x2﹣2×2017x+20172）+20182+20162﹣2×20172=34，再利用平方差公式变形求解即可.

【解析】
（1）大正方形的边长为a+b，则其面积为(a+b)2；

两个小正方形的面积为a2，b2，长方形的面积为2ab，则其面积为a2+b2+2ab；

（2）根据大正方形的面积相等得：(a+b)2＝a2+2ab+b2；

（3）如图，可得3a2+7ab+2b2=(a+2b)(3a+b)；

（4）①（a+b）2= a2+2ab+b2=25，

∵a2+b2＝11，

∴2ab=14，

解得ab=7；

②∵(x﹣2016)2+(x﹣2018)2＝34，

∴x2﹣2×2016x+20162+x2﹣2×2018x+20182=34，

∴2（x2﹣2×2017x+20172）+20182+20162﹣2×20172=34，

∴2(x﹣2017)2+2018+2017﹣2016﹣2017=34，

则(x﹣2017)2=16.