Question

设二次函数y＝ax²+bx﹣（a﹣b）（a，b是常数，a≠0）

（1）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由；

（2）若该二次函数的图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；

（3）若a﹣b＜0，点P（﹣2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．

Answer

（1）详见解析；（2）y＝x2+x﹣1；（3）详见解析.

【解析】

（1）根据一元二次方程根的判别式分析解答即可；

（2）根据题意先判断抛物线经过点B和点C，然后代入建立二元一次方程组求解可得a和b的值，从而可得二次函数解析式；

（3）把点P代入二次函数解析式，然后根据题意m＞0，a-b＜0，可求证a＞0.

【解析】
（1）∵△＝b2﹣4•a[﹣（a﹣b）]＝b2﹣4ab+4a2＝（2a﹣b）2，

当2a＝b时，二次函数图象与x轴只有一个交点，

当2a≠b时，二次函数图象与x轴有两个交点；

（2）当x＝﹣1时，y＝a﹣b﹣（a﹣b）＝0，

∴抛物线经过（﹣1，0）和B（0，﹣1），C（1，1），不经过点A（﹣1，4），

把B（0，﹣1），C（1，1）分别代入得：，

解得 ，

∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣1；

（3）证明：∵点P（﹣2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，

∴m＝a•（﹣2）2+（﹣2）b﹣（a﹣b）＝3a﹣b，

∵m＞0，

∴3a﹣b＞0，

∵a﹣b＜0，

∴（3a﹣b）﹣（a﹣b）＞0，

2a＞0，

∴a＞0．