Question

如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B 在直线n上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．

（1）求∠ACB的大小；

（2）如图2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；

（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO－∠BCF=45°，求证：CF∥OB．

Answer

（1）135°；（2）45°；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据角平分线的性质得到∠OAC =∠CAB，∠ABC＝∠GBC，根据三角形的内角和得到∠OAB+∠ABO＝90°，即可求出∠CAB+∠ABC的度数，根据三角形的内角和即可求解.

（2）根据角平分线的性质得到∠GBD=∠EBD，则∠CBD=∠GBC+∠GBD=（∠ABG+∠GBE）=90°，根据∠ACB=135°即可求出∠ADB的大小.

（3）根据三角形外角的性质得到∠AGO=∠GCB+∠GBC=45°+∠GBC，∠AGO－∠BCF=45°，可得到∠GBC=∠BCF，即可证明.

（1）∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，

∴∠OAC =∠CAB，∠ABC＝∠GBC，

∵m⊥n，

∴∠AOB＝90°，

∴∠ACB=180°－（∠CAB+∠ABC）

=180°－（∠OAB+∠ABO）=180°－×90° =135°.

（2）∵BD是∠OBE角的平分线，∴∠GBD=∠EBD，

∴∠CBD=∠GBC+∠GBD=（∠ABG+∠GBE）=90°，

又∵∠ACB=135°，∴∠DCB=45°，

∴∠ADB=180°－∠CBD －∠DCB=45°

点A、B在运动的过程中，∠ADB不发生变化，其值为45°.

（3）∵∠AGO=∠GCB+∠GBC=45°+∠GBC，

又已知：∠AGO－∠BCF=45°，

∴ 45°+∠GBC－∠BCF=45°，

∠GBC=∠BCF，∴CF∥OB.