Question

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）若AE=3，ED=，求BC的长度．

Answer

（1）见解析；（2）BC．

【解析】

（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EC，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．

（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，利用勾股定理得出答案即可．

证明：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，

即∠BCD=∠ACE．

∵BC=AC，DC=EC，

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）∵△ACB是等腰直角三角形，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵△ACE≌△BCD，

∴∠B=∠CAE=45°，AE=DB=3，

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，

∴AD2+AE2=DE2．

∴AD=，

∴AB=2+3=5．

∴BC=．

故答案为：（1）见解析；（2）BC．