Question

如图，直线y=2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C是该直线上不同于B的点，且CA=AB．

（1）写出A、B两点坐标；

（2）过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与直线AB交于点D，若点D不在线段BC上，求m的取值范围；

（3）若直线BE与直线AB所夹锐角为45°，请直接写出直线BE的函数解析式．

Answer

（1）A（1，0），B（0，﹣2）；（2）m＜0或m＞2；（3）y=x﹣2或y=﹣3x﹣2．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图1中，作CF⊥x轴与F．利用全等三角形的性质求出点F坐标即可判断；

（3）如图2中，作AE⊥AB，使得AE=AB，作EH⊥x轴于H，则△ABE是等腰直角三角形，∠ABE=45°．利用全等三角形的性质求出点E坐标，当直线BE′⊥直线BE时，直线BE′也满足条件，求出直线BE′的解析式即可；

【解析】
（1）对于直线y=2x﹣2令x=0，得到y=﹣2，令y=0，得到x=1，

∴A（1，0），B（0，﹣2）．

（2）如图1中，作CF⊥x轴与F．

∵CA=AB，∠CAF=∠OAB，∠CFA=∠AOB=90°，

∴△CAF≌△BAO，

∴AF=OA=1，CF=OB=2，

∴F（2，0），

观察图象可知m的取值范围为：m＜0或m＞2．

（3）如图2中，作AE⊥AB，使得AE=AB，作EH⊥x轴于H，则△ABE是等腰直角三角形，∠ABE=45°．

∵∠AOB=∠BAE=∠AHE=90°，

∴∠OAB+∠ABO=90°，∠OAB+∠HAE=90°，

∴∠ABO=∠HAE，∵AB=AE，

∴△ABO≌△EAH，

∴AH=OB=2，EH=OA=1，

∴E（3，﹣1），

设直线BE的解析式为y=kx+b，则有

解得

∴直线BE的解析式为，

当直线BE′⊥直线BE时，直线BE′也满足条件，直线BE′的解析式为y=﹣3x﹣2，

∴满足条件的直线BE的解析式为或y=﹣3x﹣2．