Question

已知：如图，一次函数y=x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C(2，0)的一次函数y=kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．

(1)直线CD的函数表达式为______；(直接写出结果)

(2)在x轴上求一点P使△PAD为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．

(3)若点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y=3x-6；(2)点P的坐标为(，0)或(6，0)或(-14，0)或(12，0)；(3)存在，点Q的坐标为(，)

【解析】

(1)求出D的坐标，即可求解；

(2)分PA=PD、当PA=AD、DP=AD三种情况，分别求解即可；

(3)利用BD=BD′，DQ=D′Q，即可求解．

【解析】
(1)将点D的横坐标为4代入一次函数y=x+3表达式，解得：y=6，即点D的坐标为(4，6)，

将点C、D的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：

解得：

故答案为：y=3x-6；

(2)①当PA=PD时，

点B是AD的中点，

故：过点B且垂直于AD的直线方程为：y=-x+3，

令y=0，则x=，

即点P的坐标为(，0)；

②当PA=AD时，

AD= =10，

故点P的坐标为(6，0)或(-14，0)；

③当DP=AD时，

同理可得：点P的坐标为(12，0)；

故点P的坐标为(，0)或(6，0)或(-14，0)或(12，0)；

(3)设翻转后点D落在y轴上的点为D′，设点Q的坐标为(x，3x-6)，

则：BD=BD′，DQ=D′Q，

BD′=BD= =5，故点D′的坐标为(0，-2)，

DQ2=D′Q2，即：x2+(3x-6+2)2=(x-4)2+(3x-6-6)2，

解得：x=，

故点Q的坐标为(，)．