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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在AB上...

如图,在RtABC中,∠C=90°AD平分∠BACBC于点D,点EAB上,以AE为直径的⊙O经过点D

1)求证:直线BC是⊙O的切线;

2)若∠B=30°AC=3,求图中阴影部分的面积.

 

(1)证明见解析;(2)π-. 【解析】 (1)连接OD,由AD平分∠BAC,可知∠OAD=∠CAD,易证∠ODA=∠OAD,所以∠ODA=∠CAD,所以OD∥AD,由于∠C=90°,所以∠ODB=90°,从而可证直线BC是⊙O的切线; (2)根据含30度角的直角三角形性质可求出AB的长度,然后求出∠AOD的度数,然后根据扇形的面积公式即可求出答案. 【解析】 (1)连接OD, ∵AD平分∠BAC, ∴∠OAD=∠CAD, ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD, ∴∠ODA=∠CAD, ∴OD∥AD, ∵∠C=90°, ∴∠ODB=90°, ∴OD⊥BC, ∴直线BC是⊙O的切线; (2)由∠B=30°,∠C=90°,∠ODB=90°, 得:AB=2AC=6,OB=2OD,∠AOD=120°, ∠DAC=30°, ∵OA=OD, ∴OB=2OA, ∴OA=OD=2, 由∠DAC=30°,得DC=, ∴S阴影=S扇形OAD-S△OAD =π×4-×2× =π-.
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考点分析:
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