Question

如图，△ABC内接于⊙O，半径BO与AC相交于点D，BO的延长线与⊙O交于点F，与过点C的切线NC交于点M，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接CF，已知MF=FC．

（1）求证：∠M=30°；

（2）①若=，求的值；

②当△DEC的面积是它最大值的时，求的值．

（3）若DE=AB，试判断点D所在的位置．（请直接写出答案）

Answer

（1）证明见解析．（2）①=，②=．（3）点D与点O重合．

【解析】

（1）连接OC，只要证明△FOC是等边三角形即可解决问题．
（2）①设OB=r，则DC=OB=r．作CH⊥BF于点H．想办法求出OD，OB即可解决问题．
②设⊙O的半径为r，DE=x，△DEC的面积为s．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）连接OA．作OG⊥AB于G．由△GOB≌△EDC（AAS），推出OB=CD=OC，由∠BOC=∠OCM+∠M＞90°，推出D，O，C三点无法构成等腰三角形，推出点D与点O重合．

【解析】
（1）连接OC．

∵MN是切线，

∴∠MCO=90°，

∴∠MOC+∠M=90°=∠FCM+∠OCF，

∵MF=FC，

∴∠M=∠FCM，

∴∠MOC=∠OCF，

∴OF=CF=OC，

∴△FOC是等边三角形，

∴∠FOC=60°，

∴∠M=30°．

（2）①设OB=r，则DC=OB=r．

作CH⊥BF于点H．

由（1）可知∠BFC=60°，FC=FO=OB=r，

∴∠FCH=30°，

在Rt△FCH中，FH=FC=，CH=r，

∴OH=r，

在Rt△CDH中，DH2+CH2=CD2，

∴DH2+（r）2=（r）2，

∴DH=r，

∴OD=DH-OH=r，∴=．

②设⊙O的半径为r，DE=x，△DEC的面积为s．

由（1）可知∠B=∠FOC=30°，

∵DE⊥BC，

∴BE=x，由垂径定理可得BC=r，

∴s=x（r-x）=-x2+rx．

∴当x=r时，s有最大值，最大值=r2，

当s=×r2=r2时，-x2+rx=r2，

化简得到：9x2-9rx+2r2=0，

解得x=r或r，

∵x=DE=BD≤r，

∴r=r，

在Rt△DEC中，CD2=DE2+EC2=（r）2+（r-r）2=r2，

∴CD=r，

∴=．

（3）连接OA．作OG⊥AB于G．

由垂径定理可知：GB=AB，∠GOB=∠AOB，

∵∠DCE=∠AOB，DE=AB，

∴∠GOB=∠DCE，G=DE，

∵∠DGB=∠CED=90°

∴△GOB≌△EDC（AAS），

∴OB=CD=OC，

∵∠BOC=∠OCM+∠M＞90°，

∴D，O，C三点无法构成等腰三角形，

∴点D与点O重合．