Question

已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．

（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．

①求证：DG=2PC；

②求证：四边形PEFD是菱形；

（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer

（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）四边形PEFD是菱形．理由见解析．

【解析】试题（1）①作PM⊥DG于M，根据等腰三角形的性质由PD=PG得MG=MD，根据矩形的判定易得四边形PCDM为矩形，则PC=MD，于是有DG=2PC；

②根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形；

（2）与（1）中②的证明方法一样可得到四边形PEFD为菱形．

试题解析：（1）①作PM⊥DG于M，如图1，

∵PD=PG，

∴MG=MD，

∵四边形ABCD为矩形，

∴PCDM为矩形，

∴PC=MD，

∴DG=2PC；

②∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB，

∵四边形ABPM为矩形，

∴AB=PM，

∴AD=PM，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG=90°，

∴∠GDH+∠DGH=90°，

∵∠MGP+∠MPG=90°，

∴∠GDH=∠MPG，

在△ADF和△MPG中， ,

∴△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF=PG，

而PD=PG，

∴DF=PD，

∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，

∴∠EPG=90°，PE=PG，

∴PE=PD=DF，

而DF⊥PG，

∴DF∥PE，

即DF∥PE，且DF=PE，

∴四边形PEFD为平行四边形，

∵DF=PD，

∴四边形PEFD为菱形；

（2）【解析】
四边形PEFD是菱形．理由如下：

作PM⊥DG于M，如图2，

与（1）一样同理可证得△ADF≌△MPG，

∴DF=PG，

而PD=PG，

∴DF=PD，

∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，

∴∠EPG=90°，PE=PG，

∴PE=PD=DF

而DF⊥PG，

∴DF∥PE，

即DF∥PE，且DF=PE，

∴四边形PEFD为平行四边形，

∵DF=PD，

∴四边形PEFD为菱形．