Question

如图，直线l₁：y＝x+12与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l₂与x轴、y轴分别交于C、B两点，且AB：BC＝3：4．

（1）求直线l₂的解析式，并直接判断△ABC的形状（不需说明理由）；

（2）如图1，P为直线l₁上一点，横坐标为12，Q为直线l₂上一动点，当PQ+CQ最小时，将线段PQ沿射线PA方向平移，平移后P、Q的对应点分别为P'、Q'，当OQ'+BQ'最小时，求点Q'的坐标；

Answer

（1），△ABC为直角三角形；（2）Q'（ ）

【解析】

（1）根据l1求出A,B的坐标，再根据AB：BC＝3：4．得出C点坐标，即可求出l2的解析式与△ABC的形状；（2）由题意知当P、Q、M三点共线，且PM⊥x轴时，PQ+CQ最小，利用直线平移的性质与Q点坐标求出l3的解析式，作点B（0，12）关于l3的对称点B'，则B'（24，﹣6），连接OB'，与直线l3的交点即为所求点Q'，再联立l3与直线OB'即可求出Q'的坐标.

【解析】
（1）由l1：y＝x+12得B（0,12），A（-9,0）

∴AB=15，

∵AB：BC＝3：4．

∴BC=20，故C（16,0）

故求得l2：，

∵AB=15，BC=20，AC= 9+16=25，故AB2+BC2=AC2，

∴△ABC为直角三角形．

（2）当P、Q、M三点共线，且PM⊥x轴时，PQ+CQ最小，

∴Q（12，3）

平移过程中，点Q'在直线l3上移动，

∵l3∥l1且l3经过点Q（12，3），

∴l3：

作点B（0，12）关于l3的对称点B'，则B'（24，﹣6），连接OB'，与直线l3的交点即为所求点Q'，

∵直线OB'：，

∴解得，

∴Q'（）．