Question

如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AD边上的动点，从点A开始沿AD向D运动．以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，EF交DC于点H，连接CG、BH．请探究：

（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由．

（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？最大值是多少？

（3）当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

Answer

（1）AE=CG，见解析；（2）当x=1时，y有最大值，为；（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，见解析.

【解析】

(1)由正方形的性质可得AB=BC，BE=BG，∠ABC=∠EBG=90°，由“SAS”可证△ABE≌△CBG，可得AE=CG；

(2)由正方形的性质可得∠A=∠D=∠FEB=90°，由余角的性质可得∠ABE=∠DEH，可得△ABE∽△DEH，可得，由二次函数的性质可求最大值；

(3)当E点是AD的中点时，可得AE=1，DH=，可得，且∠A=∠FEB=90°，即可证△BEH∽△BAE．

(1)AE=CG，理由如下：

∵四边形ABCD，四边形BEFG是正方形，

∴AB=BC，BE=BG，∠ABC=∠EBG=90°，

∴∠ABE=∠CBG，且AB=BC，BE=BG，

∴△ABE≌△CBG(SAS)，

∴AE=CG；

(2)∵四边形ABCD，四边形BEFG是正方形，

∴∠A=∠D=∠FEB=90°，

∴∠AEB+∠ABE=90°，∠AEB+∠DEH=90°，

∴∠ABE=∠DEH，

又∵∠A=∠D，

∴△ABE∽△DEH，

∴，

∴

∴=，

∴当x=1时，y有最大值为；

(3)当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，

理由如下：

∵E是AD中点，

∴AE=1，

∴

又∵△ABE∽△DEH，

∴，

又∵，

∴，且∠DAB=∠FEB=90°，

∴△BEH∽△BAE.