Question

如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于G，F是AD的中点.

（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；

（2）若EB是∠AEC的角平分线，请写出图中所有与AE相等的边.

Answer

见解析

【解析】

试题

（1）由已知条件易证△AFE≌△DFB，从而可得AE=BD=DC，结合AE∥BC即可证得四边形ADCE是平行四边形；

（2）由（1）可知，AE=BD=CD；由BE平分∠AEC，结合AE∥BC可证得△BCE是等腰三角形，从而可得EC=BC，结合AD=EC、AF=DF，可得AF=DF=AE；由此即可得与AE相等的线段有BD、CD、AF、DF共四条.

试题解析：

（1）∵AE∥BC，

∴∠AEF=∠DBF，∠EAF=∠FDB，

∵点F是AD的中点，

∴AF=DF，

∴△AFE≌△DFB，

∴ AE=CD，

∵AD是△ABC的中线，

∴DC=AD，

∴AE=DC，

又∵AE∥BC，

∴四边形 ADCE是平行四边形；

（2）∵BE平分∠AEC，

∴∠AEB=∠CEB，

∵AE∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∴∠CEB=∠EBC，

∴EC=BC，

∵由（1）可知，AD=EC，BD=DC=AE，

∴AD=BC，

又∵AF=DF，

∴AF=DF=BD=DC=AE，

即图中等于AE的线段有4条，分别是：AF、DF、BD、DC.