Question

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，以BC为边向外作正方形BCDE，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→D的路线向D点匀速运动（M不与A、D重合）；过点M作直线l⊥AD，l与路线A→B→D相交于N，设运动时间为t秒：

（1）填空：当点M在AC上时，BN＝　   　（用含t的代数式表示）；

（2）当点M在CD上时（含点C），是否存在点M，使△DEN为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）过点N作NF⊥ED，垂足为F，矩形MDFN与△ABD重叠部分的面积为S，求S的最大值．

Answer

（1）BN＝2﹣t；（2）当t＝4﹣或t＝3或t＝2时，△DNE是等腰三角形；（3）当t＝时，S取得最大值．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质知AB＝2，MN＝AM＝t，AN＝﹣AM＝﹣t，据此可得；

（2）先得出MN＝DM＝4﹣t，BP＝PN＝t﹣2，PE＝4﹣t，由勾股定理得出NE＝，再分DN＝DE，DN＝NE，DE＝NE三种情况分别求解可得；

（3）分0≤t＜2和2≤t≤4两种情况，其中0≤t＜2重合部分为直角梯形，2≤t≤4时重合部分为等腰直角三角形，根据面积公式得出面积的函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．

（1）如图1，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，

∴∠A＝∠ABC＝45°，AB＝2，

∵AM＝t，∠AMN＝90°，

∴MN＝AM＝t，AN＝AM＝t，

则BN＝AB﹣AN＝

故答案为：

（2）如图2，

∵AM＝t，AC＝BC＝CD＝2，∠BDC＝∠DBE＝45°，

∴DM＝MN＝AD﹣AM＝4﹣t，

∴DN＝DM＝（4﹣t），

∵PM＝BC＝2，

∴PN＝2﹣（4﹣t）＝t﹣2，

∴BP＝t﹣2，

∴PE＝BE﹣BP＝2﹣（t﹣2）＝4﹣t，

则NE＝,

∵DE＝2，

∴①若DN＝DE，则（4﹣t）＝2，解得t＝4﹣；

②若DN＝NE，则（4﹣t）＝，解得t＝3；

③若DE＝NE，则2＝，解得t＝2或t＝4（点N与点E重合，舍去）；

综上，当t＝4﹣或t＝3或t＝2时，△DNE是等腰三角形．

（3）①当0≤t＜2时，如图3，

由题意知AM＝MN＝t，

则CM＝NQ＝AC﹣AM＝2﹣t，

∴DM＝CM+CD＝4﹣t，

∵∠ABC＝∠CBD＝45°，∠NQB＝∠GQB＝90°，

∴NQ＝BQ＝QG＝2﹣t，

则NG＝4﹣2t，

∴

当t＝时，S取得最大值；

②当2≤t≤4时，如图4，

∵AM＝t，AD＝AC+CD＝4，

∴DM＝AD﹣AM＝4﹣t，

∵∠DMN＝90°，∠CDB＝45°，

∴MN＝DM＝4﹣t，

∴S＝（4﹣t）2＝（t﹣4）2，

∵2≤t≤4，

∴当t＝2时，S取得最大值2；

综上，当t＝时，S取得最大值．