Question

如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D是AC上的一点，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点C落在BC边上的点E处，连接AE、DE，当∠CDE=∠AEB时，AE的长是______．

Answer

【解析】

分别过A、D点作AM、DN垂直于BC与M、N点，利用三角形内角和180°，以及平角180度，推导出ED平分∠AEC，则DA=DN，设DN=DA=x，则CD=8-x，利用三角函数求出ED、DN长，从而确定了EN和CN长为4，可求BE=2，利用三角函数知识求出AM、BM值，最后在Rt△AEM中利用勾股定理求的AE长．

由勾股定理可得BC=10．

分别过A、D点作AM、DN垂直于BC与M、N点，

根据折叠的性质可知∠C=∠DEC，EN=CN，

∵∠DEC+∠C+∠EDC=180°，∠DEC+∠AED+∠AEB=180°，

已知∠EDC=∠AEB，∴∠AED=∠DCE=∠DEC，即ED平分∠AEC，

根据角平分线的性质可得DN=DA，

设DN=DA=x，则CD=8-x，

sinC=，即，

解得x=3，

所以DN=3，CD=5，

所以NC=4，EN=4，

所以BE=10-4-4=2，

sinB=，即，解得AM=4.8，

在Rt△ABM中利用勾股定理可得BM=3.6，

则EM=3.6-2=1.6，

在Rt△AEM中，AE=.