Question

已知抛物线y=ax²+bx-3的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），顶点为D，点C是直线l：y=x+5与x轴的交点．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点E是直线l在第三象限上的点，连接EA、EB，当△ECA∽△BCE时，求E点的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接AD、BD，在直线DE上是否存在点P，使得∠APD=∠ADB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2-2x-3；（2）点E的坐标为（-9，-4）；（3）点P的坐标为（-4，-4）或（2，-4），见解析.

【解析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点A，B的坐标利用相似三角形的性质可求出EC的值，过点E作EF⊥x轴于点F，则△CEF为等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质可求出CE，EF的值，进而可得出点E的坐标；

（3）利用配方法可求出点D的坐标，进而可得出BD的长度，结合点E的坐标可得出直线DE的函数表达式为y=-4，过点A作AM⊥BD于点M，过点A作AN⊥直线DE于点N，利用面积法可求出AM的值，由∠APD=∠ADB结合正切的定义可求出PN的值，再结合点N的坐标可得出点P的坐标，此题得解．

（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，

得：，解得：，

∴该二次函数的表达式为y=x2-2x-3；

（2）当y=0时，x+5=0，

解得：x=-5，

∴点C的坐标为（-5，0）．

∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），

∴AC=4，BC=8．

∵△ECA∽△BCE，

∴∠ECA=∠BCE，=，即=，

∴EC=4或EC=-4（舍去），

过点E作EF⊥x轴于点F，如图1所示，

∵直线l的函数表达式为y=x+5，

∴△CEF为等腰三角形，

∴CE=EF=4，

∴OF=5+4=9，EF=4，

∴点E的坐标为（-9，-4）；

（3）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴点D的坐标为（1，-4），

∴AD=BD==2，

由（2）可知：点E的坐标为（-9，-4），

∴直线DE的函数表达式为y=-4，

过点A作AM⊥BD于点M，过点A作AN⊥直线DE于点N，如图2所示，

∵点D的坐标为（1，-4），点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），

∴S△ABD=×[3-（-1）]×4=8，

∴AM===，

∴DM==，

∵∠APD=∠ADB，

∴tan∠APD=tan∠ADB，即=，

∴=，

∴PN=3，

又∵点N的坐标为（-1，-4），

∴点P的坐标为（-4，-4）或（2，-4）．

综上所述：在直线DE上存在点P（-4，-4）或（2，-4），使得∠APD=∠ADB．